Free Practice Questions for Simultaneous-equations in Maths

माना, पुत्र की आयु $x$ वर्ष तथा पिता की आयु $(24+x)$ वर्ष है।
प्रश्नानुसार,
 $(24+x-5)=3(x-5)$
⇒ $19+x=3 x-15$
⇒ $2 x=34$
⇒ $x=17$

माना, रोहित और रोशनी की वर्तमान आयु क्रमशः $2 x$ वर्ष तथा $3 x$ वर्ष है।
प्रश्नानुसार,
$
\begin{aligned}
& & \frac{2 x+12}{3 x+12} &=\frac{11}{15} \\
\Rightarrow & 30 x+180 &=33 x+132 \\
\Rightarrow & 3 x &=48 \Rightarrow x=16
\end{aligned}
$
$\therefore$ रोशनी की आयु $=3 x=3 \times 16=48$ वर्ष

प्रश्नानुसार,
$(x-y)=(w+z)+6$
⇒ x-y-w-z =6
तथा  (x+y) =(w-z)-3
⇒ $x+y-w+z=-3$
समी. (i) व (ii) को जोड़ने पर,
2(x-w)=3 
$\therefore \quad(x-w)=\frac{3}{2}=15$

माना, स्कूटर का मूल्य $=9 x$
तथा मोपेड का मूल्य $=5 x$
प्रश्नानुसार,
$9 x-5 x=4200$
⇒ $4 x=4200$
⇒ $x=1050$
∴ मोपेड का मूल्य $=5 x$
$=5 \times 1050=₹ 5250$

विद्यार्थियों की कुल संख्या $=40$
$\because$ लड़कियाँ : लड़के $=2: 3$
$\therefore$ लड़कियों की संख्या $=\frac{40 \times 2}{5}=16$
तथा लड़कों की संख्या $=\frac{40 \times 3}{5}=24$
माना, नए आए 5 विद्यार्थियों में से लड़कों की संख्या $=x$
और नए आए 5 विद्यार्थियों में से लड़कियों की संख्या $=y$
$\therefore$
$\therefore$
$
x+y=5
$
प्रश्नानुसार,
$
\frac{16+y}{24+x}=\frac{4}{5}
$,
$\begin{array}{ll}\Rightarrow & 96+4 x=80+5 y \\ \Rightarrow & 4 x-5 y=-16\end{array}$
समी. (i) में 5 से गुणा करके समी. (ii) को जोड़ने पर,
$\Rightarrow \quad 4 x-5 y=-16$
$\Rightarrow \quad-\frac{5 x+5 y=25}{9 x=9}$
$\therefore \quad x=1$
अतः नए आए 5 विद्यार्थियों में से लड़कों की संख्या 1 है।

माना, मैसों की संख्या $=x$ तथा मुर्गियों की संख्या $=y$
$\therefore$ कुल आँखें, $2 x+2 y=120$
और कुल पैर, $4 x+2 y=180$
समी. (i) व (ii) को हल करने पर,
$
x=30
$
समी. (i) में $x=30$ रखने पर,
$
\begin{aligned}
\Rightarrow & 2 y=60 \\
\therefore & y=30
\end{aligned}
$
$
60+2 y=120
$
अतः मुर्गियों की संख्या $=30$

माना, पिता की वर्तमान आयु $=x$ वर्ष
$\therefore$ पुन्न की वर्तमान आयु $=\frac{x}{3}$ वर्ष
12 वर्ष बाद,
पिता की आयु $=(x+12)$ वर्ष
पुत्न की आयु $=\left(\frac{x}{3}+12\right)$ वर्ष
प्रश्नानुसार,
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow & \frac{1}{3} x+12 &=\frac{1}{2}(x+12) \\
\Rightarrow & \frac{x+36}{3} &=\frac{x+12}{2} \\
\Rightarrow & 2(x+36) &=3(x+12) \\
\Rightarrow & 2 x+72 &=3 x+36 \\
\Rightarrow & x &=36
\end{aligned}
$
$\therefore$ पिता की वर्तमान आयु $=36$ वर्ष
तथा पुत्र की वर्तमान आयु $=\frac{36}{3}=12$ वर्ष

माना, कुल दूरी $=x$ किमी प्रश्नानुसार,
$\left[x-\left(\frac{2}{11} x+\frac{17}{22} x\right)\right]=1$
$\Rightarrow \quad\left[x-\left(\frac{4 x+17 x}{22}\right)\right]=1$
$\begin{array}{lrl}\Rightarrow & x-\frac{21 x}{22} & =1 \\ \Rightarrow & \frac{22 x-21 x}{22} & =1\end{array}$
$\therefore \quad x=22$ किमी

माना, इकाई का अंक $=x$ तथा दहाई का अंक $=y$ $\therefore$ संख्या $=10 y+x$
प्रश्नानुसार, $x-y=2$
तथा $3(10 y+x)+\frac{6}{7}(10 x+y)=108$
$\Rightarrow \quad 210 y+21 x+60 x+6 y=108 \times 7$
$\Rightarrow \quad 216 y+81 x=108 \times 7$
$\Rightarrow \quad 216 y+81(y+2)=108 \times 7$
$\Rightarrow \quad 216 y+81 y+162=756$
$\Rightarrow \quad 297 y=594$
$\Rightarrow \quad y=2$
$\therefore \quad x=4$
अत: अभीष्ट योग $=x+y=4+2=6$

माना, पहली संख्या $x$ तथा दूसरी संख्या $y$ है, तब प्रश्नानुसार, $x-y=3$
तथा $3 x-2 y=14$
समी. (ii) $-$ समी. (i) $\times 2$,
$
\begin{aligned}
&3 x-2 y=14 \\
&2 x-2 y=6 \\
&-\quad+\quad-8
\end{aligned}
$
$x$ का मान समी. (i) में रखने पर,
$
\begin{array}{ll}
\Rightarrow & y=8-3=5 \\
\text { अत: } & x=8 \quad y=5
\end{array}
$

$
\begin{aligned}
&3 x+4 y=7 \\
&4 x+3 y=9
\end{aligned}
$
समी. (i) $\times 4-$ समी. (ii) $\times 3$,
$
\begin{aligned}
&12 x+16 y=28 \\
&\frac{12 x+9 y=27}{-\quad-}-1 \Rightarrow y=\frac{1}{7}
\end{aligned}
$
$y$ का मान समी. (i) में रखने पर,
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow & 3 x+4 \times \frac{1}{7} &=7 \\
\Rightarrow & 3 x &=7-\frac{4}{7} & \\
\Rightarrow & 3 x &=\frac{49-4}{7} \\
\Rightarrow & 3 x &=\frac{45}{7} \Rightarrow x=\frac{15}{7} \\
\text { अतः } & x &=\frac{15}{7}, y=\frac{1}{7}
\end{aligned}
$

निकाय एक अद्वितीय हल रखता है, यदि
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
अर्थात् यदि $\frac{a}{l} \neq \frac{b}{m}$
यदि $\quad a m \neq b l$
$\therefore \quad a m-b l \neq 0$

दिए गए समीकरण निकाय के अनन्त हल होंगे,
यदि $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{k}{6}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$
अतः किसी भी स्थिति में $\frac{b_{1}}{b_{2}}, \frac{c_{1}}{c_{2}}$ के बराबर नहीं है।
$\therefore \quad \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः $k$ का कोई भी ऐसा मान नहीं है, जिसके लिए दिए गए निकाय के अनन्त हल हों।

$\because \frac{3 x-y+1}{3}=\frac{2 x+y+2}{5}$
$\Rightarrow \quad 5(3 x-y+1)=3(2 x+y+2)$
$\Rightarrow \quad 9 x-8 y=1$
और $\frac{2 x+y+2}{5}=\frac{3 x+2 y+1}{6}$
$\Rightarrow \quad 6(2 x+y+2)=5(3 x+2 y+1)$
$\Rightarrow \quad 3 x+4 y=7$
समी. (ii) को 2 से गुणा करके समी. (i) में जोड़ने पर,
$9 x-8 y=1$
$
\begin{aligned}
6 x+8 y &=14 \\
15 x &=15 \\
∴ x &=1
\end{aligned}
$
समी. (i) में $x$ का मान रखने पर,
$
\begin{array}{r}
9(1)-8 y=1 \\
⇒8 y=8 \\
∴ y=1
\end{array}
$
अत: $x=1$ और $y=1$ अभीष्ट हल है।

यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{5}{15 / 2}=\frac{2}{3}$ और $\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{11}{21}$
$\because \quad \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
अत: निकाय का कोई हल नहीं है।

यहाँ, $\quad \frac{4 x}{10}+\frac{3 y}{10}=\frac{17}{10}$
$\Rightarrow \quad 4 x+3 y=17$
और$\frac{7 x}{10}-\frac{2 y}{10}=\frac{8}{10}$
$\Rightarrow$ 7 x-2 y=8
समी. (i) और (ii) को हल करने पर,
x=2 और y=3

$2 x+3 y=\frac{11}{3}$ और $5 x-7 y=\frac{31}{3}$
$\Rightarrow 6 x+9 y=11$
और $15 x-21 y=31$
समी. (i) में 7 की तथा समी. (ii) में 3 की गुणा करके जोड़ने पर,
$42 x+63 y=77$
$45 x-63 y=93$
$87 x=170$
$x=\frac{170}{87}$
$x$ का मान समी. (i) में रखने पर,
$6\left(\frac{170}{87}\right)+9 y=11$
$\Rightarrow \quad 9 y=11-\frac{1020}{87}=-\frac{63}{87}$
$\Rightarrow \quad y=-\frac{7}{87}$
$\therefore \quad x=\frac{170}{87}$ और $y=-\frac{7}{87}$

यहाँ, $x+3 x=20$
$\Rightarrow 4x=20$
$\therefore \quad x=5$
पहली संख्या $=x=5$
तथा दूसरी संख्या $=3 x=15$

माना, संख्याएँ क्रमश: $x$ और $y$ हैं।
तब, $x+y=21$
तथा $x-y=11$
समी. (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
2x=32
$\Rightarrow x=\frac{32}{2}=16$
$\therefore \quad y=5$
अतः बड़ी संख्या 16 है।