Free Practice Questions for Quadratic-equations in Maths

दिया है, $x^{2}=y+z$
$
x^{2}+x=y+z+x
$
$
\begin{array}{r}
x(x+1)=y+z+x \\
x+1=\frac{y+z+x}{x}
\end{array}
$
इसी प्रकार.
$
\begin{aligned}
&y+1=\frac{x+y+z}{y} \\
&z+1=\frac{x+y+z}{z}
\end{aligned}
$
समी. (i), (ii) व (iii) को जोड़ने पर,
$
\begin{gathered}
\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \\
=\frac{1}{\frac{x+y+z}{x}}+\frac{1}{\frac{x+y+z}{y}}+\frac{1}{\frac{x+y+z}{z}} \\
\Rightarrow \quad \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1
\end{gathered}
$

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=23$
On squaring the both sides, we get
$
\begin{gathered}
{\left[x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right]^{2}=(23)^{2}} \\
\left(x^{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{x}\right)^{2}+2 \times x^{2} \times \frac{1}{x^{2}}=529 \\
x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=529-2 \\
x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=527
\end{gathered}
$

$\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-1}=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}-1}$
$
\Rightarrow \quad \frac{(x+1)(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x+1)}{(x-1)}
$
माना $\frac{x+1}{x-1}$ पाने के लिये $\frac{2}{x-1}$ के साथ $k$ जोड़ना होगा
$
\begin{array}{ll}
\text { तब, } & \frac{2}{x-1}+k=\frac{x+1}{x-1} \\
\Rightarrow & k=\frac{x+1}{x-1}-\frac{2}{x-1} \\
\Rightarrow & k=\frac{x+1-2}{x-1} \\
\Rightarrow & k=\frac{x-1}{x-1}=1
\end{array}
$
अतः 1 जोड़ना होगा।

दिया है, $\frac{x-1}{x-2}+\frac{x-3}{x-4}=\frac{10}{3}$
$\Rightarrow \quad \frac{(x-1)(x-4)+(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-4)}=\frac{10}{3}$
$\Rightarrow \quad \frac{x^{2}-5 x+4+x^{2}-5 x+6}{x^{2}-6 x+8}=\frac{10}{3}$
$\Rightarrow \quad \frac{2 x^{2}-10 x+10}{x^{2}-6 x+8}=\frac{10}{3}$
$\Rightarrow \quad 6 x^{2}-30 x+30=10 x^{2}-60 x+80$
$\Rightarrow \quad 4 x^{2}-30 x+50=0$
$\Rightarrow \quad 2 x^{2}-15 x+25=0$
$\Rightarrow \quad 2 x^{2}-10 x-5 x+25=0$
$\Rightarrow \quad 2 x(x-5)-5(x-5)=0$
$\Rightarrow \quad(2 x-5)(x-5)=0$
$\therefore \quad x=\frac{5}{2}, 5$

माना $x$ अभीष्ट प्राकृत संख्या है। प्रश्नानुसार,
$x^{2}-84=3(x+8)$
$\Rightarrow \quad x^{2}-84=3 x+24$
$\Rightarrow \quad x^{2}-3 x-108=0$
$\Rightarrow \quad x^{2}-12 x+9 x-108=0$
$\Rightarrow \quad x(x-12)+9(x-12)=0$
$\Rightarrow \quad(x-12)(x+9)=0$
$\therefore \quad x=12$
[यहाँ $x \neq-9$ क्योंकि $x$ एक प्राकृत संख्या है।]

माना $\alpha=3, \beta=-6$
तब मूलों का योगफल,
$\alpha+\beta=3-6=-3$
तथा मूलों का गुणनफल,
$\alpha \beta=3 \times(-6)=-18$
$\therefore$ समीकरण $x^{2}-(\alpha+\beta) x+2 \beta=0$
$\Rightarrow \quad x^{2}-(-3) x-18=0$
$\Rightarrow \quad x^{2}+3 x-18=0$

समीकरण $5 x^{2}-3 x-2=0$
यहाँ $a=5, b=-3, c=-2$
$\therefore \quad \alpha+\beta=-\frac{b}{a}=\frac{-(-3)}{5}=\frac{3}{5}$
तथा $\alpha \beta=\frac{c}{a}=\frac{-2}{5}$
अत: $\quad(\alpha+\beta)^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}+2 \alpha \beta$
$\Rightarrow \quad\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}+2\left(-\frac{2}{5}\right)$
$\therefore \quad \alpha^{2}+\beta^{2}=\frac{9}{25}+\frac{4}{5}=\frac{29}{25}$

माना छोटी संख्या $=x$
तब बड़ी संख्या $=x+5$
प्रश्नानुसार,
$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{10}$
$\Rightarrow$ $\frac{x+5-x}{x(x+5)}=\frac{1}{10}$
$\Rightarrow$ $\frac{5}{x^{2}+5 x}=\frac{1}{10}$
$\Rightarrow$ $x^{2}+5 x-50=0$
$\Rightarrow$ $x^{2}+10 x-5 x-50=0$
$\Rightarrow$ $(x+10)(x-5)=0$
∴ $(x-5)=0$
$\Rightarrow \quad x=5$
अतः छोटी संख्या 5 है।

समीकरण $4 x^{2}+12 x+q=0$,
यहाँ $a=4, b=12, c=q$,
के मूल वास्तविक व बराबर होंगे, जब
$b^{2}-4 a c=0$
$\Rightarrow \quad(12)^{2}-4 \times 4 \times q=0$
$\begin{array}{lr}\Rightarrow & 144=4 \times 4 \times q=0 \\ \therefore & q=\frac{144}{4 \times 4}=9\end{array}$

माना बच्चों की संख्या $x$ है।
चूँकि प्रत्येक बच्चा प्रत्येक बच्चे को उपहार देता है।
$\therefore$ एक बच्चा उपहार देता है $=(x-1)$
अतः$x(x-1)=132$
$\begin{array}{lc}\Rightarrow & x^{2}-x-132=0 \\ \Rightarrow & x^{2}-12 x+11 x-132=0 \\ \Rightarrow & x(x-12)+11(x-12)=0 \\ \Rightarrow & x=-11 \\ \Rightarrow & x=12\end{array}$

$x^{2}=z$ तथा $x^{4}=z^{2}$ रखने पर,,
$x^{4}-26 x^{2}+25=0$ को हम निम्न प्रकार लिखेंगे
$\Rightarrow \quad z^{2}-26 z+25=0$
$\begin{array}{lr}\Rightarrow & z^{2}-25 z-z+25=0 \\ \Rightarrow & (z-25)(z-1)=0\end{array}$
$\Rightarrow$$z=1$ या $z=25$
जब, $z=1 \Rightarrow x^{2}=1 \Rightarrow x=\pm 1$
जब, $z=25 \Rightarrow x^{2}=25 \Rightarrow x=\pm 5$
इस प्रकार, $x=\pm 1, \pm 5$ समीकरण का हल है।

यहाँ $a_{1}=1, b_{1}=6, c_{1}=8$ तथा $a_{2}=2, b_{2}=12, c_{2}=16$
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{1}{2}$
अतः दी हुई दोनों समीकरणों के मूल समान होंगे।

हम जानते हैं कि यदि $a x^{2}+b x+c=0$ के मूल $\alpha, \beta$ हों, तो $c x^{2}+b x+a=0$ के मूल $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ होंगे। इसी प्रकार, $5 x^{2}-6 x+1=0$ के मूल $1, \frac{1}{5}$ होंगे।

यहाँ, $a+b=-1$
$
\begin{aligned}
a b &=1 \\
a^{2}+b^{2} &=(a+b)^{2}-2 a b \\
&=(-1)^{2}-2(+1) \\
&=1-2=-1
\end{aligned}
$

$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta$
$\Rightarrow \quad 40=8^{2}-2(P)$
$\Rightarrow \quad 40-64=-2 P$
$\Rightarrow \quad-24=-2 P$
$\therefore \quad P=12$

यहाँ मूलों का योग,
$S=\frac{4+\sqrt{7}}{2}+\frac{4-\sqrt{7}}{2}=4$
मूलों का गुणनफल,
$P=\left[\frac{4+\sqrt{7}}{2}\right] \times\left[\frac{4-\sqrt{7}}{2}\right]=\frac{16-7}{4}=\frac{9}{4}$
अभीष्ट समीकरण,
$
\begin{array}{r}
x^{2}-4 x+\frac{9}{4}=0 \\
4 x^{2}-16 x+9=0
\end{array}
$

यहाँ, मूल $\alpha$ और $\alpha+1$ हैं।
$\therefore($ मूलों का योग $)=\alpha+(\alpha+1)=l$
$2 \alpha=l-1$
$\alpha=\frac{l-1}{2}$
जबकि,$\alpha(\alpha+1)=m$
या $\alpha^{2}+\alpha=m$
$\Rightarrow \quad\left(\frac{l-1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{l-1}{2}\right)=m$
$\Rightarrow \quad(l-1)^{2}+2(l-1)=4 m$
$\begin{array}{ll}\Rightarrow & l^{2}-1=4 m \\ \therefore & 1^{2}=4 m+1\end{array}$