Free Practice Questions for Mensuration in Maths

Let the rectangular field $A B C D$ be.

$\therefore$ required area $=\left[\frac{1}{4} \times \pi \times(14)^{2}\right]$
$=\left[\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14\right]$
$=154$ वर्ग मी

पार्क की लम्बाई $=90$ मी तथा चौड़ाई $=77$ मी

पार्क की लम्बाई $=90$ मी तथा चौड़ाई $=77$ मी

पार्क का क्षेत्रफल $=(90 \times 77)$ वर्ग मी $=6930$ वर्ग मी
रास्ते को छोड़कर शेष भाग की लम्बाई $=(90-2 \times 3.5)=83$ मी
(1) तथा चौड़ाई $=(77-2 \times 3.5)=70$ मी
रास्ते को छोड़कर शेष भाग का क्षेत्रफल $=(83 \times 70)=5810$ वर्ग मी
$\therefore$ रास्ते का क्षेत्रफल $=(6930-5810)=1120$ वर्ग मी
$\therefore$ रोड़ी बिछाने का खर्च $=₹ 1120 \times 8.75=₹ 9800$

कमरे की लम्बाई $=15$ मी तथा चौड़ाई $=11$ मी कमरे का क्षेत्रफल $=(15 \times 11)$ वर्ग मी $=165$ वर्ग मी दरी की चौड़ाई $=\frac{60}{100}$ मी $=\frac{3}{5}$ मी दरी की लम्बाई $=\left(165 \times \frac{5}{3}\right)$ मी $=275$ मी $\therefore$ दरी बिछाने का खर्च $=₹(275 \times 12)=₹ 3300$

माना आयताकार फर्श की लम्बाई व चौड़ाई क्रमशः $3 x$ मी व $2 \times$ मी हैं।
$\therefore$ आयताकार फर्श का परिमाप $=2 \times$ (लम्बाई $+$ चौड़ाईं)
$\Rightarrow \quad 100=2(3 x+2 x)$
$\Rightarrow \quad 10 x=100$
$\Rightarrow \quad x=\frac{100}{10}=10$
$\therefore$ आयताकार फर्श की लम्बाई $=3 \times 10=30$ मी
तथा आयताकार फर्श की चौड़ाई $=2 \times 10=20$ मी
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $=30 \times 20=600$ मी $^{2}$

माना आयत की लम्बाई व चौड़ाई क्रमश: $4 x$ मी व $x$ मी है। $\therefore$ आयत का क्षेत्रफल $=4 x \times x=4 x^{2}$ वर्ग मी चूँकि आयत का क्षेत्रफल $=1600$ वर्ग मी
$$
\begin{array}{ll}
\therefore & 4 x^{2}=1600 \\
\Rightarrow & x^{2}=\frac{1600}{4}=400 \\
\Rightarrow & x=\sqrt{400} \\
\therefore & x=20
\end{array}
$$
अतः आयत की लम्बाई $=4 \times 20=80$ मी

आयताकार पार्क की लम्बाई $=120$ मी तथा आयताकार पार्क की चौड़ाई $=100$ मी

रास्ते को छोड़कर पार्क की लम्बाई $=120-5-5=110$ मी तथा चाँड़ाई $=100-5-5=90$ मी
$\therefore$ रास्ते का क्षेत्रफल $=$ पार्क का क्षेत्रफल $-$ रास्ते को छोड़कर पार्क का क्षेत्रफल $=120 \times 100-110 \times 90$
$=12000-9900$
$=2100$ वर्ग मी

मैदान की लम्बाई $=31$ मी
तथा चौड़ाई $=14$ मी
रास्ते सहित मैदान की लम्बाई $=(31+2+2)$ मी $=35$ मी
तथा चौड़ाई $=(14+2+2)$ मी $=18$ मी
$\therefore$ रास्ते का क्षेत्रफल $=[(35 \times 18)-(31 \times 14)]$ $=(630-434)=196$ वर्ग मी
$\therefore$ रोड़ी बिछाने का खर्च $=\left(196 \times \frac{11}{2}\right)=₹ 1078$

माना कमरे की लम्बाई एवं चौड़ाई क्रमशः $4 x$ एवं $3 x$ मी है।
कमरे का क्षेत्रफल $=$ लम्बाई $x$ चौड़ाई
$\Rightarrow \quad 1728=4 x \times 3 x$
$\Rightarrow \quad 12 x^{2}=1728$
$\Rightarrow \quad x^{2}=\frac{1728}{12}=144$
$\therefore \quad x=\sqrt{144}=12$
$\therefore$ कमरे की लम्बाई $=4 \times 12=48$ मी

माना आयताकार खेत की लम्बाई तथा चौड़ाई क्रमशः $9 x$ तथा $5 x$ है।
तथा आयताकार खेत का क्षेत्रफल $=4500$ मी $^{2}$
$\begin{array}{lr}\therefore & 9 x \times 5 x=4500 \\ \Rightarrow & 45 x^{2}=4500 \\ \Rightarrow & x^{2}=100 \\ \Rightarrow & x=10\end{array}$
$\therefore$ आयताकार खेत की लम्बाई $=9 x=9 \times 10=90$ मी
तथा आयताकार खेत की चौड़ाई $=5 x=5 \times 10=50$ मी
$\therefore$ आयताकार खेत का परिमाप $=2$ (लम्बाई $+$ चौड़ाई)
$=2(90+50)=(2 \times 140)$
=280 मी

माना कमरे की चौड़ाई $=x$ मी
लम्बाई $=(x+5)$ मी
वृद्धि होने के बाद नई लम्बाई $=[(x+5)+5]$
$=(x+10) $मी
कमी होने के बाद नई चौड़ाई $=(x-3)$ मी
प्रश्नानुसार, $\quad x(x+5)=(x+10)(x-3)$
$\Rightarrow \quad x^{2}+5 x=x^{2}+7 x-30$
$\therefore \quad x=15$
अतः कमरे की चौड़ाई $=15$ मी
तथा कमरे की लम्बाई $=(15+5)=20$ मी

माना चौड़ाई $x$ मी है, तो लम्बाई $(x+10)$ मी होगी।
प्रश्नानुसार, $\quad x(x+10)=600$
$\Rightarrow \quad x^{2}+10 x-600=0$
$\Rightarrow \quad x^{2}+30 x-20 x-600=0$
$\Rightarrow \quad x(x+30)-20(x+30)=0$
$\Rightarrow \quad(x+30)(x-20)=0$
$\therefore$$x=-30,20$
परन्तु चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
$\therefore$चौड़ाई $(x)=20$ मी
तथा लम्बाई $(x+10)=30$ मी
अतः आयत का परिमाप $=2$ (लम्बाई $+$ चौड़ाई)
$=2(30+20)=100 $मी

माना आयत की लम्बाई $x$ सेमी तथा चोड़ाई $y$ सेमी है।
प्रश्नानुसार, $\quad x y=200$
तथा $2(x+y)=60$
$\Rightarrow \quad x+y=30$
अब, $\quad(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4 x y$
$\Rightarrow \quad(x-y)^{2}=(30)^{2}-4 \times 200$
$\Rightarrow \quad(x-y)^{2}=900-800$
$\Rightarrow \quad x-y=\sqrt{100}$
$\Rightarrow \quad x-y=10$
समी (i) तथा समी (ii) को जोड़ने पर,
$2 x=40$
$\Rightarrow$ $x=20$
$x$ का मान समी (i) में रखने पर,
$y=10$
अतः आयत की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 20 सेमी तथा 10 सेमी है।

माना लम्बाई $8 x$ तथा चोड़ाई $5 x$ मी है।
प्रश्नानुसार,
$
\begin{array}{r}
8 x-5 x=60 \\
3 x=60 \\
x=20
\end{array}
$
इस प्रकार आयताकार प्लॉट की लम्बाई $=8 \times 20=160$ मी
तथा चौड़ाई $=5 \times 20=100$ मी
अतः आयताकार प्लॉट का परिमाप $=2(160+100)$
$=2 \times 260=520 $ मी

माना आयत की लम्बाई $x$ तथा चौड़ाई $y$ है।
$\therefore$ क्षेत्रफल $=x y$
आयत की लम्बाई में $20 \%$ वृद्धि तथा चौड़ाई में $n \%$ कमी करने पर,
नयी लम्बाई $=\frac{12 x}{10}$
तथा नयी चौड़ाई $=\left(\frac{100-n}{100}\right) y$
$\therefore \quad$ नया क्षेत्रफल $=\frac{12 x}{10} \times\left(\frac{100-n}{100}\right) y$
चूँकि क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है।
$\therefore \quad x y=\frac{12 x}{10} \times\left(\frac{100-n}{100}\right) y$
$\Rightarrow \quad 100-n=\frac{1000}{12}$
$\Rightarrow \quad n=\frac{200}{12}=16 \frac{2}{3} \%$
वैकल्पिक विधि
यहाँ, $x=20 \%$
चोड़ाई में प्रतिशत कमी $=\left(\frac{x \times 100}{100+x}\right)$
$=\left(\frac{20 \times 100}{100+20}\right)$
$=\left(\frac{2000}{120}\right)=\left(\frac{200}{12}\right)=16 \frac{2}{3} \%$

माना आयत की लम्बाई $x$ तथा चौड़ाई $y$ है।
क्षेत्रफल =x y
आयत की लम्बाई में $10 \%$ तथा चौड़ाई में $20 \%$ की वृद्धि करने पर,
नयी लम्बाई $=x+x \times 10 \%=\frac{11 x}{10}$
तथा नयी चौड़ाई $=y+y \times 20 \%=\frac{6 y}{5}$
$\therefore \quad$ नया क्षेत्रफल $=\frac{11 x}{10} \times \frac{6 y}{5}=\frac{33}{25} x y$
अत: अभीष्ट प्रतिशत वृद्धि $=\frac{\frac{33}{25} x y-x y}{x y} \times 100=32 \%$
वैकल्पिक विधि
यहाँ, $x=10 \%$ तथा $y=20 \%$
$\therefore$ आयत के क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि
$
\begin{aligned}
&=\left(x+y+\frac{x \times y}{100}\right) \% \\
&=\left(10+20+\frac{10 \times 20}{100}\right) \% \\
&=(30+2) \%=32 \%
\end{aligned}
$

माना आयत की लम्बाई $x$ तथा चौड़ाई $y$ है।
$\therefore$क्षेत्रफल =x y
आयत की लम्बाई में $10 \%$ की वृद्धि व चौड़ाई में $10 \%$ की कमी करने पर,
नयी लम्बाई $=x+\frac{x \times 10}{100}=\frac{11 x}{10}$
एवं नयी चोड़ाई $=y-\frac{y \times 10}{100}=\frac{9 y}{10}$
$\therefore \quad$ नया क्षेत्रफल $=\frac{11 x}{10} \times \frac{9 y}{10}=\frac{99}{100} x y$
अतः अभीष्ट प्रतिशत कमी $=\frac{x y-\frac{99}{100} x y}{x y} \times 100=1 \%$
वैकल्फिक विधि
यहाँ, $x=10 \%$ तथा $y=-10 \%$
$\therefore$ आयत के क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि या कमी
$=\left(10-10+\frac{10 \times(-10)}{100}\right) \%$
$=\left(\frac{-100}{100}\right) \%=(-1) \%=-1 \%$
चूँकि यह मान ऋणात्मक है। अतः उसके क्षेत्रफल में $1 \%$ की कमी होगी।

माना चौड़ाई $=x$ मी
तथा लम्बाई $=3 x$ मी
तब प्रश्नानुसार,
$2(3 x+x) =240 $
$ \therefore x =30 $
अतः लम्बाई =$3 \times 30=90 $ मी

माना लम्बाई $=5 x$ तथा चौड़ाई $=3 x$
तब, $2(5 x+3 x)=480$
$\therefore \quad x=30$
$\therefore$ लम्बाई $=150$ मी
तथा चोड़ाई $=90$ मी
अत: क्षेत्रफल $=$ लम्बाई $x$ चौड़ाई
$=(150 \times 90)$ वर्ग मी
$=13500$ वर्ग मी

माना प्लॉट की लम्बाई व चौड़ाई क्रमश: $3 x$ मी और $2 x$ मी है।
प्रश्नानुसार, $3 x-2 x=40$
$\Rightarrow \quad x=40$
$\therefore$ प्लॉट का परिमाप $=(3 x+2 x) \times 2$
$=10 x=10 \times 40=400 $ मी

माना आयत की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः $3 x$ सेमी और $2 x$ सेमी है।
$\because \quad$ आयत का परिमाप $=2(3 x+2 x)=20$ सेमी
$\Rightarrow \quad 10 x=20$
$\therefore \quad x=2$ सेमी
$\therefore \quad$ आयत का अभीष्ट क्षेत्रफल $=(3 \times 2) \times(2 \times 2)$
$=24$ वर्ग सेमी