Free Practice Questions for Mensuration in Maths

Let the rectangular field $ABCD$ be.

$\therefore$ required area $=[\frac{1}{4}\times \pi \times (14{)}^2]$
$=[\frac{1}{4}\times \frac{22}{7}\times 14\times 14]$
$=154$ वर्ग मी

पार्क की लम्बाई $=90$ मी तथा चौड़ाई $=77$ मी

पार्क की लम्बाई $=90$ मी तथा चौड़ाई $=77$ मी

पार्क का क्षेत्रफल $=(90\times 77)$ वर्ग मी $=6930$ वर्ग मी
रास्ते को छोड़कर शेष भाग की लम्बाई $=(90-2\times 3.5)=83$ मी
(1) तथा चौड़ाई $=(77-2\times 3.5)=70$ मी
रास्ते को छोड़कर शेष भाग का क्षेत्रफल $=(83\times 70)=5810$ वर्ग मी
$\therefore$ रास्ते का क्षेत्रफल $=(6930-5810)=1120$ वर्ग मी
$\therefore$ रोड़ी बिछाने का खर्च $\text{Math input error}$

कमरे की लम्बाई $=15$ मी तथा चौड़ाई $=11$ मी कमरे का क्षेत्रफल $=(15\times 11)$ वर्ग मी $=165$ वर्ग मी दरी की चौड़ाई $=\frac{60}{100}$ मी $=\frac{3}{5}$ मी दरी की लम्बाई $=(165\times \frac{5}{3})$ मी $=275$ मी $\therefore$ दरी बिछाने का खर्च $\text{Math input error}$

माना आयताकार फर्श की लम्बाई व चौड़ाई क्रमशः $3x$ मी व $2\times$ मी हैं।
$\therefore$ आयताकार फर्श का परिमाप $=2\times$ (लम्बाई $+$ चौड़ाईं)
$\Rightarrow 100=2(3x+2x)$
$\Rightarrow 10x=100$
$\Rightarrow x=\frac{100}{10}=10$
$\therefore$ आयताकार फर्श की लम्बाई $=3\times 10=30$ मी
तथा आयताकार फर्श की चौड़ाई $=2\times 10=20$ मी
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $=30\times 20=600$ मी ${}^2$

माना आयत की लम्बाई व चौड़ाई क्रमश: $4x$ मी व $x$ मी है। $\therefore$ आयत का क्षेत्रफल $=4x\times x=4x^2$ वर्ग मी चूँकि आयत का क्षेत्रफल $=1600$ वर्ग मी
$$\begin{array}{ll}\therefore & 4x^2=1600\\ \Rightarrow & x^2=\frac{1600}{4}=400\\ \Rightarrow & x=\sqrt{400}\\ \therefore & x=20\end{array}$$
अतः आयत की लम्बाई $=4\times 20=80$ मी

आयताकार पार्क की लम्बाई $=120$ मी तथा आयताकार पार्क की चौड़ाई $=100$ मी

रास्ते को छोड़कर पार्क की लम्बाई $=120-5-5=110$ मी तथा चाँड़ाई $=100-5-5=90$ मी
$\therefore$ रास्ते का क्षेत्रफल $=$ पार्क का क्षेत्रफल $-$ रास्ते को छोड़कर पार्क का क्षेत्रफल $=120\times 100-110\times 90$
$=12000-9900$
$=2100$ वर्ग मी

मैदान की लम्बाई $=31$ मी
तथा चौड़ाई $=14$ मी
रास्ते सहित मैदान की लम्बाई $=(31+2+2)$ मी $=35$ मी
तथा चौड़ाई $=(14+2+2)$ मी $=18$ मी
$\therefore$ रास्ते का क्षेत्रफल $=[(35\times 18)-(31\times 14)]$ $=(630-434)=196$ वर्ग मी
$\therefore$ रोड़ी बिछाने का खर्च $\text{Math input error}$

माना कमरे की लम्बाई एवं चौड़ाई क्रमशः $4x$ एवं $3x$ मी है।
कमरे का क्षेत्रफल $=$ लम्बाई $x$ चौड़ाई
$\Rightarrow 1728=4x\times 3x$
$\Rightarrow 12x^2=1728$
$\Rightarrow x^2=\frac{1728}{12}=144$
$\therefore x=\sqrt{144}=12$
$\therefore$ कमरे की लम्बाई $=4\times 12=48$ मी

माना आयताकार खेत की लम्बाई तथा चौड़ाई क्रमशः $9x$ तथा $5x$ है।
तथा आयताकार खेत का क्षेत्रफल $=4500$ मी ${}^2$
$\begin{array}{lr}\therefore & 9x\times 5x=4500\\ \Rightarrow & 45x^2=4500\\ \Rightarrow & x^2=100\\ \Rightarrow & x=10\end{array}$
$\therefore$ आयताकार खेत की लम्बाई $=9x=9\times 10=90$ मी
तथा आयताकार खेत की चौड़ाई $=5x=5\times 10=50$ मी
$\therefore$ आयताकार खेत का परिमाप $=2$ (लम्बाई $+$ चौड़ाई)
$=2(90+50)=(2\times 140)$
=280 मी

माना कमरे की चौड़ाई $=x$ मी
लम्बाई $=(x+5)$ मी
वृद्धि होने के बाद नई लम्बाई $=[(x+5)+5]$
$=(x+10)$मी
कमी होने के बाद नई चौड़ाई $=(x-3)$ मी
प्रश्नानुसार, $x(x+5)=(x+10)(x-3)$
$\Rightarrow x^2+5x=x^2+7x-30$
$\therefore x=15$
अतः कमरे की चौड़ाई $=15$ मी
तथा कमरे की लम्बाई $=(15+5)=20$ मी

माना चौड़ाई $x$ मी है, तो लम्बाई $(x+10)$ मी होगी।
प्रश्नानुसार, $x(x+10)=600$
$\Rightarrow x^2+10x-600=0$
$\Rightarrow x^2+30x-20x-600=0$
$\Rightarrow x(x+30)-20(x+30)=0$
$\Rightarrow (x+30)(x-20)=0$
$\therefore$$x=-30,20$
परन्तु चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
$\therefore$चौड़ाई $(x)=20$ मी
तथा लम्बाई $(x+10)=30$ मी
अतः आयत का परिमाप $=2$ (लम्बाई $+$ चौड़ाई)
$=2(30+20)=100$मी

माना आयत की लम्बाई $x$ सेमी तथा चोड़ाई $y$ सेमी है।
प्रश्नानुसार, $xy=200$
तथा $2(x+y)=60$
$\Rightarrow x+y=30$
अब, $(x-y{)}^2=(x+y{)}^2-4xy$
$\Rightarrow (x-y{)}^2=(30{)}^2-4\times 200$
$\Rightarrow (x-y{)}^2=900-800$
$\Rightarrow x-y=\sqrt{100}$
$\Rightarrow x-y=10$
समी (i) तथा समी (ii) को जोड़ने पर,
$2x=40$
$\Rightarrow$ $x=20$
$x$ का मान समी (i) में रखने पर,
$y=10$
अतः आयत की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 20 सेमी तथा 10 सेमी है।

माना लम्बाई $8x$ तथा चोड़ाई $5x$ मी है।
प्रश्नानुसार,
$\begin{array}{r}8x-5x=60\\ 3x=60\\ x=20\end{array}$
इस प्रकार आयताकार प्लॉट की लम्बाई $=8\times 20=160$ मी
तथा चौड़ाई $=5\times 20=100$ मी
अतः आयताकार प्लॉट का परिमाप $=2(160+100)$
$=2\times 260=520$ मी

माना आयत की लम्बाई $x$ तथा चौड़ाई $y$ है।
$\therefore$ क्षेत्रफल $=xy$
आयत की लम्बाई में $20\mathrm{\%}$ वृद्धि तथा चौड़ाई में $n\mathrm{\%}$ कमी करने पर,
नयी लम्बाई $=\frac{12x}{10}$
तथा नयी चौड़ाई $=\left(\frac{100-n}{100}\right)y$
$\therefore$ नया क्षेत्रफल $=\frac{12x}{10}\times \left(\frac{100-n}{100}\right)y$
चूँकि क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है।
$\therefore xy=\frac{12x}{10}\times \left(\frac{100-n}{100}\right)y$
$\Rightarrow 100-n=\frac{1000}{12}$
$\Rightarrow n=\frac{200}{12}=16\frac{2}{3}\mathrm{\%}$
वैकल्पिक विधि
यहाँ, $x=20\mathrm{\%}$
चोड़ाई में प्रतिशत कमी $=\left(\frac{x\times 100}{100+x}\right)$
$=\left(\frac{20\times 100}{100+20}\right)$
$=\left(\frac{2000}{120}\right)=\left(\frac{200}{12}\right)=16\frac{2}{3}\mathrm{\%}$

माना आयत की लम्बाई $x$ तथा चौड़ाई $y$ है।
क्षेत्रफल =x y
आयत की लम्बाई में $10\mathrm{\%}$ तथा चौड़ाई में $20\mathrm{\%}$ की वृद्धि करने पर,
नयी लम्बाई $=x+x\times 10\mathrm{\%}=\frac{11x}{10}$
तथा नयी चौड़ाई $=y+y\times 20\mathrm{\%}=\frac{6y}{5}$
$\therefore$ नया क्षेत्रफल $=\frac{11x}{10}\times \frac{6y}{5}=\frac{33}{25}xy$
अत: अभीष्ट प्रतिशत वृद्धि $=\frac{\frac{33}{25}xy-xy}{xy}\times 100=32\mathrm{\%}$
वैकल्पिक विधि
यहाँ, $x=10\mathrm{\%}$ तथा $y=20\mathrm{\%}$
$\therefore$ आयत के क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि
$\begin{array}{rl}& =(x+y+\frac{x\times y}{100})\mathrm{\%}\\ & =(10+20+\frac{10\times 20}{100})\mathrm{\%}\\ & =(30+2)\mathrm{\%}=32\mathrm{\%}\end{array}$

माना आयत की लम्बाई $x$ तथा चौड़ाई $y$ है।
$\therefore$क्षेत्रफल =x y
आयत की लम्बाई में $10\mathrm{\%}$ की वृद्धि व चौड़ाई में $10\mathrm{\%}$ की कमी करने पर,
नयी लम्बाई $=x+\frac{x\times 10}{100}=\frac{11x}{10}$
एवं नयी चोड़ाई $=y-\frac{y\times 10}{100}=\frac{9y}{10}$
$\therefore$ नया क्षेत्रफल $=\frac{11x}{10}\times \frac{9y}{10}=\frac{99}{100}xy$
अतः अभीष्ट प्रतिशत कमी $=\frac{xy-\frac{99}{100}xy}{xy}\times 100=1\mathrm{\%}$
वैकल्फिक विधि
यहाँ, $x=10\mathrm{\%}$ तथा $y=-10\mathrm{\%}$
$\therefore$ आयत के क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि या कमी
$=(10-10+\frac{10\times (-10)}{100})\mathrm{\%}$
$=\left(\frac{-100}{100}\right)\mathrm{\%}=(-1)\mathrm{\%}=-1\mathrm{\%}$
चूँकि यह मान ऋणात्मक है। अतः उसके क्षेत्रफल में $1\mathrm{\%}$ की कमी होगी।

माना चौड़ाई $=x$ मी
तथा लम्बाई $=3x$ मी
तब प्रश्नानुसार,
$2(3x+x)=240$
$\therefore x=30$
अतः लम्बाई =$3\times 30=90$ मी

माना लम्बाई $=5x$ तथा चौड़ाई $=3x$
तब, $2(5x+3x)=480$
$\therefore x=30$
$\therefore$ लम्बाई $=150$ मी
तथा चोड़ाई $=90$ मी
अत: क्षेत्रफल $=$ लम्बाई $x$ चौड़ाई
$=(150\times 90)$ वर्ग मी
$=13500$ वर्ग मी

माना प्लॉट की लम्बाई व चौड़ाई क्रमश: $3x$ मी और $2x$ मी है।
प्रश्नानुसार, $3x-2x=40$
$\Rightarrow x=40$
$\therefore$ प्लॉट का परिमाप $=(3x+2x)\times 2$
$=10x=10\times 40=400$ मी

माना आयत की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः $3x$ सेमी और $2x$ सेमी है।
$\because$ आयत का परिमाप $=2(3x+2x)=20$ सेमी
$\Rightarrow 10x=20$
$\therefore x=2$ सेमी
$\therefore$ आयत का अभीष्ट क्षेत्रफल $=(3\times 2)\times (2\times 2)$
$=24$ वर्ग सेमी