Free Practice Questions for Mensuration in Maths

यदि परिमाप बराबर हो, तो आयताकार क्षेत्रफल सबसे बड़ा तभी होगा जब यह वर्ग हो। (ध्यान रहे कि वर्ग भी एक आयत है, जिसकी प्रत्येक भुजा बराबर है।)
अत: आयताकार क्षेत्र (वर्ग) की एक भुजा $=\frac{120}{4}=30$ मी $^{2}$
$\therefore \quad$ अभीष्ट क्षेत्रफल $=(30)^{2}=900$ मी $^{2}$

कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल
$=2$ (लम्बाई $\times$ ऊँचाई $)+2$ (चौड़ाई $\times$ ऊँचाई)
$=2(5 \times 3)+2(4 \times 3) $
$=30+24=54 $ वर्ग मी

माना आयत की लम्बाई व चौड़ाई क्रमशः / व $b$ मी है।
$\because $आयत का परिमाप $=82$ मी
$\therefore$2 (लम्बाई + चौड़ाई) $=82$
$\Rightarrow$ $(I+b)=41$
तथा आयत का क्षेत्रफल $=400$ वर्ग मी
$\therefore \quad$ लम्बाई $x$ चौड़ाई $=400$
$\Rightarrow \quad 1 \times b=400$
$(I-b)^{2}=(I+b)^{2}-4 / b$
$=(41)^{2}-4 \times 400$
[समी (i) व (ii) से मान रखने पर]
$=1681-1600=81$
$\Rightarrow \quad(l-b)=9$
समी (i) व (iii) को हल करने पर,
b=16
अतः आयत की चौड़ाई $=16$ मी

माना आयत की भुजाएँ $a$ और $b$ हैं।
$\therefore \quad$ आयत का परिमाप $=2 a+2 b$
प्रश्नानुसार, $2 a+2 b=76$
पुन: आयत का क्षेत्रफल $=a \times b$
प्रश्नानुसार, $a \times b=360$
समी. (ii) से $a=\frac{360}{b}$ समी. (i) में रखने पर,
$ 2\left(\frac{360}{b}\right)+2 b =76 $
$\Rightarrow \frac{720+2 b^{2}}{b} =76 $
$\Rightarrow 2 b^{2}-76 b+720 =0 $
$\Rightarrow 2 b^{2}-(40+36) b+720 =0 $
$\Rightarrow 2 b^{2}-40 b-36 b+720 =0 $
$\Rightarrow \quad 2 b(b-20)-36(b-20)=0 $
$\Rightarrow \quad(2 b-36)(b-20)=0 $
$\ अत: b=18 \ $या$ 20$
$\Rightarrow$ $\quad a=20 \ $या 18
अतः आयत की छोटी भुजा 18 होगी।

आयत का क्षेत्रफल $=$ लम्बाई $\times$ चौड़ाई
$=12 \times 10$
$=120$ वर्ग सेमी

माना आयत की लम्बाई $x$ एवं चौड़ाई $y$ है।
$\therefore$ क्षेत्रफल $=x y$
अब, लम्बाई व चौड़ाई में से प्रत्येक में $20 \%$ की कमी होने पर,
नई लम्बाई $=x \times \frac{100-20}{100}=\frac{80 x}{100}=\frac{4 x}{5}$
एवं नई चौड़ाई $=y \times \frac{100-20}{100}=\frac{80 y}{100}=\frac{4 y}{5}$
$\therefore \quad$ नया क्षेत्रफल $=\frac{4 x}{5} \times \frac{4 y}{5}=\frac{16 x y}{25}$
$\therefore \quad$ क्षेत्रफल में कमी $=x y-\frac{16 x y}{25}=\frac{9 x y}{25}$
$\therefore$ प्रतिशत कमी $=\frac{\frac{9}{25} x y}{x y} \times 100$
$=\frac{9 \times 100}{25}=36 \%$
वैकल्पिक विधि
क्षेत्रफल में अभीष्ट प्रतिशत कमी $=-20-20+\frac{(-20) \times(-20)}{100}$
$=-40+\frac{20 \times 20}{100}$
$=-40+4=-36 \%$
$\because$ चिन्ह ऋणात्मक है।
$\therefore$ क्षेत्रफल में $36 \%$ की कमी हुई है।

माना कमरे की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः $4 x$ तथा $3 x$ है।
प्रश्नानुसार,
$ \Rightarrow $ क्षेत्रफल =$4 x \times 3 x=1728 $
$\Rightarrow 12 x^{2} =1728 $
$\Rightarrow x^{2} =144 $
$\Rightarrow $ x =12 मी
$\therefore \ $कमरे की लम्बाई$=4 x=48 \ $मी

माना आयत की चौड़ाई $=x$ सेमी
तब, आयत की लम्बाई $=(x+8)$ सेमी
$\because$ आयत का परिमाप $=2$ (लम्बाई $+$ चौड़ाई)
$ \Rightarrow 68 =2[(x+8)+x] $
$4 x+16 =68 $
$\Rightarrow 4 x =68-16 $
$\Rightarrow 4 x =52 $
$\therefore x =\frac{52}{4}=13$
अत: आयत की चौड़ाई $=13$ सेमी
तथा लम्बाई =13+8
=21 सेमी

यहाँ, $l=4$ मी तथा $b=3$ मी
$\therefore \quad \ $विकर्ण$ =\sqrt{l^{2}+b^{2}}=\sqrt{(4)^{2}+(3)^{2}} $
$=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \ $मी

यहाँ, $l=50$ मी तथा $b=25$ मी
$\therefore$ आयताकार खेत का क्षेत्रफल $=1 \times b$
$=50 \times 25=1250$ वर्ग मी

किसी बिंदु $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ से सरल रेखा $a x+b y+c=0$ की दूरी


$=\left|\frac{a x_{1}+b y_{1}+c}{\sqrt{a^{2}}+b^{2}}\right|$
अतः बिंदु $(2,-1)$ से सरल रेखा $x+y=2$ की दूरी (AD)
$=\left|\frac{1 \times 2+1 \times-1-2}{\sqrt{2}}\right|$
$=\left|\frac{2-1-2}{\sqrt{2}}\right|$
$=\left|\frac{-1}{\sqrt{2}}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\triangle A B D$ में,
$
\begin{aligned}
\sin 60^{\circ} &=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{A B} \\
\frac{\sqrt{3}}{2} &=\frac{1 / \sqrt{2}}{A B} \\
\sqrt{3} \cdot A B &=\sqrt{2} \\
A B &=\sqrt{\frac{2}{3}}
\end{aligned}
$
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =$\frac{\sqrt{3}}{4}$ भुजा $^{2}$
$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{2}$
$
\begin{aligned}
&=\frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6} \\
&=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3} \times 2} \\
&=\frac{1}{2 \sqrt{3}}
\end{aligned}
$
अतः समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ होगा।

यहाँ, $s=\frac{1}{2}(20+21+29)=35$
$(s-a)=15,(s-b)=14$ तथा $(s-c)=6$
$\therefore$ खेत का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$
\begin{aligned}
&=\sqrt{35 \times 15 \times 14 \times 6} \\
\end{aligned}
$
=210 वर्ग मी
फसल काटने का खर्च $=₹(210 \times 4.5)=₹ 945$

प्रश्नानुसार, त्रिभुज की प्रत्येक भुजा $=\frac{48}{3}=16$ सेमी
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4} \times(16)^{2}=64 \sqrt{3}$ वर्ग सेमी

यहाँ, $a=20$ मी, $b=21$ मी
तथा $C=29$ मी
$\therefore \quad S=\frac{1}{2}(20+21+29)=35$ मी
$(s-a)=15$ मी, $(s-b)=14$ मी तथा $(s-c)=6$ मी
$\Delta=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$=\sqrt{35 \times 15 \times 14 \times 6}$
$=5 \times 7 \times 3 \times 2=210$ वर्ग मी
$\therefore$ फसल काटने का खर्च $=₹(210 \times 8.5)=₹ 1785$

$\quad=(13.5 \times 10000)$ वर्ग मी
$=135000$ वर्ग मी
माना, ऊँचाई $=h$ मी
तब, $\quad$ आधार $=3 h$ मी
$\therefore \quad \frac{1}{2} \times 3 h \times h=135000$
$\Rightarrow \quad h h^{2}=\left(135000 \times \frac{2}{3}\right)=90000$
$\therefore \quad h=\sqrt{90000}=300$ मी
अतः ऊँचाई $=300$ मी

माना, त्रिभुज की शेष भुजाएँ $a$ तथा $b$ हैं।
तब, $a^{2}+b^{2}=(13)^{2}=169$
तथा $\frac{1}{2} \times a b=30 \Rightarrow a b=60$
$\therefore \quad(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b$
$=(169+2 \times 60)=289$
तथा $(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b$
$=169-2 \times 60=49$
$\therefore \quad(a+b)=\sqrt{289}=17$
तथा $\quad(a-b)=\sqrt{49}=7$
अब समी. (i) व (ii) को हल करने पर,
$a=12$ तथा $b=5$
अतः छोटी भुजा की लम्बाई $=5$ सेमी

माना, त्रिभुज की भुजाएँ $3 x$ सेमी, $4 x$ सेमी तथा $5 x$ सेमी हैं।
तब, $S=\frac{1}{2}(3 x+4 x+5 x)=6 x$
$(s-a)=3 x_{1}(s-b)=2 x$
तथा $(s-c)=x$
$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$=\sqrt{6 x \times 3 x \times 2 x \times x}=6 x^{2}$
$\therefore \quad 6 x^{2}=216$
$\Rightarrow \quad x^{2}=36$
$\Rightarrow \quad x=6$
$\therefore$ त्रिभुज का परिमाप $=(18+24+30)=72$ सेमी

माना, आधार $m_{1}$ तथा $m_{2}$ हैं तथा क्षेत्रफल $4 x$ तथा $3 x$ वर्ग इकाई हैं तथा ऊँचाईयाँ $3 y$ तथा $4 y$ हैं।
$
\begin{array}{ll}
\text { तब, } & \frac{\frac{1}{2} \times m_{1} \times 3 y}{\frac{1}{2} \times m_{2} \times 4 y}=\frac{4 x}{3 x} \\
\Rightarrow & \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{4}{3} \times \frac{4}{3}=\frac{16}{9}
\end{array}
$
$\therefore$ अभीष्ट अनुपात $=16: 9$

$\because$ समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times$भुजा$^{2}$
$\therefore \quad \frac{\sqrt{3}}{4} \times$भुजा$^{2}=\sqrt{3}$
⇒ (भुजा $)^{2}=4$
$\therefore$भुजा $=\sqrt{4}=2$ सेमी
अतः उस त्रिभुज की भुजा 2 सेमी होगी।