Free Practice Questions for Mensuration in Maths

माना, त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ क्रमशः $5 x, 12 x$ और $13 x$ हैं।
$\therefore$ त्रिभुज का परिमाप $=5 x+12 x+13 x=30 x$
प्रश्नानुसार,
$
\begin{aligned}
30 x &=540 \\
x &=\frac{540}{30}=18
\end{aligned}
$
त्रिभुज $A B C$ में,


$
\begin{aligned}
(A B)^{2}+(B C)^{2} &=(A C)^{2} \\
(5 x)^{2}+(12 x)^{2} &=(13 x)^{2} \\
(25+144) x^{2} &=169 x^{2} \\
169 &=169
\end{aligned}
$
$\because$ समकोण त्रिभुज में दो भुजाओं के वर्गों का योग सबसे बड़ी भुजा अर्थात् तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर होता है।
अतः खेत समकोण त्रिभुजाकार है। जिसमें $\angle B$, समकोण है।
∴ त्रिभुजाकार खेत का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times 5 x \times 12 x$
=30 $x^2$
=30 $18 ^2$
$=30 \times 324=9720$ वर्ग मीटर

माना, त्रिभुज की भुजाएँ,
$a=35$ सेमी, $b=40$ सेमी, $c=45$ सेमी
$\therefore \quad s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{35+40+45}{2}=60$ सेमी
$\therefore$ त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$=\sqrt{60(60-35)(60-40)(60-45)}$
$=\sqrt{60 \times 25 \times 20 \times 15}=\sqrt{900 \times 500}$
$=300 \sqrt{5}$
$=300 \times 2.236 \quad[\because \sqrt{5}=2.236]$
$=670.8$ सेमी $^{2}$ (लगभग)

समबाहु त्रिभुज की भुजा $=8 \sqrt{2}$
क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4} \times(8 \sqrt{2})^{2}$
$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 128=32 \sqrt{3} $ सेमी $^{2}$
$\therefore$ समबाहु त्रिभुज का परिमाप $=3 \times$ भुजा
$=3 \times 8 \sqrt{2}=24 \sqrt{2} $सेमी
$\therefore$ त्रिभुज के क्षेत्रफल एवं त्रिभुज के परिमाप में अनुपात
$
=\frac{32 \sqrt{3}}{24 \sqrt{2}}=\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}=\frac{2 \times 2 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times 2}{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}=2 \sqrt{2}: \sqrt{3}
$

Area of the driveway $=$ Area of the path $=$ (splashes $+$ area of the path) $-$ Area of the sprinkler
$
\begin{aligned}
&=\pi\left(\frac{6.6}{2}+1.5\right)^{2 }-\pi\left(\frac{6.6}{2}\right)^{2} \\
&=\pi(3.3+1.5)^{2}-\pi(3.3)^{2} \\
& =\left[(4.8)^{2}-(3.3)^{2}\right] \pi \\
&=[(4.8-3.3)(4.8+3.3)] \pi \\
&=[15 \times 8.1] \pi=12.15 \pi
\end{aligned}
$

$\because \angle C O B=360^{\circ}-\left(110^{\circ}+90^{\circ}\right)=160^{\circ}$
$\therefore \quad x=\angle C A B=\frac{1}{2} \angle C O B$
$=\frac{1}{2} \times 160^{\circ}=80^{\circ}$

Wheel circumference $=\left(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{100}\right)=\frac{11}{7}$ m
distance $=(11 \times 1000)=11000 $ m
Number of revolutions $=\left(11000 \times \frac{7}{11}\right)=7000$

Diameter of Wheel =1.26 m 

Circumference of the wheel $=\pi \times$ diameter 

$=\frac{22}{7} \times 1.26=3.96 $ m 

Distance covered by the wheel in 500 revolutions $=3.96 \times 500= 1980 $m

Let the radii of the circles be $R_{1}$ and $R_{2}$ respectively.
According to the question,
$2 R_{1}+2 R_{2}=35$
$\Rightarrow \quad R_{1}+R_{2}=\frac{35}{2}$
and $2 \pi R_{1}-2 \pi R_{2}=22$
$\therefore \quad 2 \times \frac{22}{7}\left(R_{1}-R_{2}\right)=22$
$\Rightarrow \quad R_{ 1}-R_{2}=\frac{7}{2}$
sum. Solving (i) $+$ (ii),
$R_{1}=10.5$
$R_{2}=7$
area of the smaller circle $=\frac{22}{7} \times 7 \times 7 =154$ m $^{2}$

तार की लम्बाई $=2 \pi r=2 \times \frac{22}{7} \times 42=264$
माना, आयत की भुजाएँ क्रमशः $6 x$ तथा $5 x$ हैं।
$\therefore$ आयत का परिमाप $=$ तार की लम्बाई
अत: 2 (लम्बाई $+$ चौड़ाई) $=264$
$
2(6 x+5 x)=264
$
$
$अतः $2 \times 11 x=264 \Rightarrow x=12
$
$\therefore$ आयत की छोटी भुजा $=5 x=5 \times 12=60$ सेमी

Diagonal of square $=$ side $\times \sqrt{2}=a \sqrt{2} \times \sqrt{2}=2 a$ unit
$\therefore$ diameter of circle $=$ diagonal of square $=2 a$ unit

$\therefore$ circumference of circle $=$ diameter $\times \pi=2 a \pi$ units 

रास्ते का क्षेत्रफल $=$ (फुहारे $+$ रास्ते) का क्षेत्रफल $-$ फुहारे का क्षेत्रफल
$
\begin{aligned}
&=\pi\left(\frac{6.6}{2}+1.5\right)^{2}-\pi\left(\frac{6.6}{2}\right)^{2} \\
&=\pi(3.3+1.5)^{2}-\pi(3.3)^{2} \\
&=\left[(4.8)^{2}-(3.3)^{2}\right] \pi \\
&=[(4.8-3.3)(4.8+3.3)] \pi \\
&=[15 \times 8.1] \pi=12.15 \pi
\end{aligned}
$

$\because \angle C O B=360^{\circ}-\left(110^{\circ}+90^{\circ}\right)=160^{\circ}$
$\therefore \quad x=\angle C A B=\frac{1}{2} \angle C O B$
$=\frac{1}{2} \times 160^{\circ}=80^{\circ}$

पहिए की परिधि $=\left(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{100}\right)=\frac{11}{7}$ मी
दूरी $=(11 \times 1000)=11000 $ मी
चक्करों की संख्या $=\left(11000 \times \frac{7}{11}\right)=7000$

पहिए का व्यास =1.26 मी
पहिए की परिधि $=\pi \times$ व्यास
$=\frac{22}{7} \times 1.26=3.96 $ मी
500 चक्करों में पहिए द्वारा तय की गई दूरी
$=3.96 \times 500=1980 $ मी

माना, वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः $R_{1}$ व $R_{2}$ हैं।
प्रश्नानुसार,
$2 R_{1}+2 R_{2}=35$
$\Rightarrow \quad R_{1}+R_{2}=\frac{35}{2}$
तथा $2 \pi R_{1}-2 \pi R_{2}=22$
$\therefore \quad 2 \times \frac{22}{7}\left(R_{1}-R_{2}\right)=22$
$\Rightarrow \quad R_{1}-R_{2}=\frac{7}{2}$
समी. (i) $+$ (ii) को हल करने पर,
$R_{1}=10.5$
$R_{2}=7$
छोटे वृत्त का क्षेत्रफल $=\frac{22}{7} \times 7 \times 7=154$ मी $^{2}$

वर्ग का विकर्ण $=$ भुजा $\times \sqrt{2}=a \sqrt{2} \times \sqrt{2}=2 a$ यूनिट
$\therefore$ वृत्त का व्यास $=$ वर्ग का विकर्ण $=2 a$ यूनिट

$\therefore$ वृत्त की परिधि $=$ व्यास $\times \pi=2 a \pi$ यूनिट

यहाँ, $\angle O C D=\angle O D C=30^{\circ}$
तथा OC=OD वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
$\angle C O D=120^{\circ}$
$\angle C A D=\frac{120}{2}=60^{\circ}$
$\angle C A D=\angle C B D=60^{\circ}$
$\therefore \angle C A D+\angle C B D=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$