Free Practice Questions for Mensuration in Maths

माना, समकोण त्रिभुज का आधार $x$ तथा लम्ब $y$ है।
$\therefore x^{2}+y^{2}=225 $
तथा $ x+y+15=36 $
$\therefore x+y=21$
समी (ii) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
$(x+y)^{2}=441$
$\therefore \quad(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2 x y$
⇒ $441=225+2 x y$
$\therefore$ $x y=108$
$\therefore \quad$ अभीष्ट क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times x \times y$
$=\frac{1}{2} \times 108=54$ वर्ग सेमी

माना, समकोण समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः $a$ सेमी, $a$ सेमी व $b$ सेमी है।
पाइथागोरस प्रमेय से, $b^{2}=a^{2}+a^{2}$
$b^{2}=2 a^{2}$
$b=a \sqrt{2}$
अब, परिमाप $=2 a+b$
$\Rightarrow \quad 2+\sqrt{2}=2 a+b$
$\Rightarrow \quad 2+\sqrt{2}=2 a+a \sqrt{2}$
$\Rightarrow \quad a(2+\sqrt{2})=(2+\sqrt{2})$
$\Rightarrow \quad a=1$
इस प्रकार, $a=1, b=\sqrt{2}$
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times$ आधार $\times$ ऊँचाई
$=\frac{1}{2} \times a \times a=\frac{1}{2} \times 1 \times 1=\frac{1}{2}$ सेमी $^{2}$

माना, त्रिभुज की भुजाएँ $5 x$ सेमी, $5 x$ सेमी तथा $4 x$ सेमी हैं।
तब, $(5 x+5 x+4 x) =14 $
⇒ $14 x =14 $
∴ x =1
अतः इन भुजाओं की माप क्रमशः 5 सेमी, 5 सेमी तथा 4 सेमी हैं।
$s=\frac{1}{2}(5+5+4)=7 $
$(s-a)=2,(s-b)=2 $ तथा $(s-c)=3 $
∴ $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $
$=\sqrt{7 \times 2 \times 2 \times 3}=2 \sqrt{21} $वर्ग सेमी

माना, त्रिभुज की प्रत्येक भुजा =a


समकोण $\triangle A D B$ में,
$x^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=a^{2}$
$\Rightarrow \quad\left(a^{2}-\frac{a^{2}}{4}\right)=x^{2}$
$\Rightarrow \frac{3 a^{2}}{4}=x^{2}$
$\Rightarrow a^{2}=\frac{4 x^{2}}{3}$
$\therefore$ त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^{2}\right)$
$=\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{4 x^{2}}{3}\right)=\frac{x^{2}}{\sqrt{3}}$

माना, दोनों भुजाएँ क्रमशः $x$ तथा $y$ सेमी है।
प्रश्नानुसार, $\quad \frac{1}{2} x y=30$
$\Rightarrow \quad x y=60$
तथा $x^{2}+y^{2}=(13)^{2}=169$
अत: $\quad(x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2 x y$
$=169-2 \times 60=49$
$\Rightarrow \quad x-y=7$
अतः भुजाओं की लम्बाई में अभीष्ट अन्तर $=7$ सेमी

हम जानते हैं, कि प्रत्येक त्रिभुज में किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से सदैव बड़ा होता है।
अत: किसी समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 7 सेमी, 7 सेमी, 15 सेमी नहीं हो सकती।
अतः ये भुजाएँ 7 सेमी, 15 सेमी तथा 15 सेमी है।
अतः इस त्रिभुज का परिमाप $=(7+15+15)$ सेमी $=37$ सेमी

माना, त्रिभुज की भुजाएँ क्रमश: $3 x$ मी, $4 x$ मी तथा $5 x$ मी हैं।
$\therefore$ त्रिभुज का परिमाप $=3 x+4 x+5 x=12 x$ मी
प्रश्नानुसार, त्रिभुज का परिमाप $=24$ मी
⇒ $12 x=24 $
$x=\frac{24}{12}=2 $मी
अतः त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः $3 \times 2=6$ मी, $4 \times 2=8$ मी तथा $5 \times 2=10$ मी होगी।
$(10)^{2}=(6)^{2}+(8)^{2}$
अर्थात् त्रिभुज समकोण त्रिभुज होगा।
$\therefore \quad$ क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times$ आधार $\times$ ऊँचाई
$=\frac{1}{2} \times 6 \times 8=24$ वर्ग मी

यहाँ, $s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+12+13}{2}$
$=\frac{30}{2}=15$ सेमी
$\therefore$ त्रिभुज का क्षेत्रफल $=$$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$=\sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)}$
$=\sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2}=\sqrt{900}=30$ वर्ग सेमी

सर्वप्रथम, $A L \perp B C$ खींचे। तब, $A B=4$ सेमी, $B L=2$ सेमी
माना, $A L=h$ सेमी
तब,
$$
\begin{aligned}
&4^{2}=h^{2}+2^{2} \\
&h^{2}=(16-4) \\
&h^{2}=12
\end{aligned}
$$
$$
\Rightarrow \quad h^{2}=12
$$



$\Rightarrow \quad h=\sqrt{12}=2 \sqrt{3}$ सेमी
$\therefore$
ऊँचाई $=2 \sqrt{3}$ सेमी
अतः $\triangle A B C$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times B C \times A L=\left(\frac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{3}\right)$
$=4 \sqrt{3}$वर्ग सेमी

माना, त्रिभुज की भुजाएँ क्रमश: $17 x$ मी, $15 x$ मी तथा $8 x$ मी हैं।
$\therefore$ त्रिभुज का परिमाप $=17 x+15 x+8 x=40 x$ मी
परन्तु त्रिभुज का परिमाप $=40$ मी
$40 x=40 \Rightarrow x=\frac{40}{40}=1$
अतः त्रिभुज की भुजाएँ, $17 \times 1=17$ मी, $15 \times 1=15$ मी
तथा $8 \times 1=8$ मी होंगी।
$\because \quad(17)^{2}=(15)^{2}+(8)^{2}$
अतः त्रिभुज समकोण त्रिभुज होगा।
$\therefore$ समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times$ आधार $\times$ ऊँचाई
$=\frac{1}{2} \times 8 \times 15=60$ वर्ग मी

$\because$ त्रिभुज की भुजा $=4$ सेमी
$\therefore$ समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4} \times$( भुजा )$^{2}$
$
=\frac{\sqrt{3}}{4} \times(4)^{2}=4 \sqrt{3}
$वर्ग सेमी

यहाँ, कर्ण $=10$ सेमी तथा अधार $=8$ सेमी तब पाइथागोरस प्रमेय से,<br>


(कर्ण) $ ^{2}$=(आधार)$^{2}$+ (ऊँचाई) $^{2}$
$\Rightarrow \quad(10)^{2}=(8)^2$+(ऊँचाई )$^2$
$\Rightarrow$(ऊँचाई )$^2=100-64=36$
$\Rightarrow $ ऊँचाई $=\sqrt{36}=6 $ सेमी
$\therefore$ त्रिभुज का परिमाप $=$ कर्ण $+$ आधार $+$ ऊँचाई
$=10+8+6=24$ सेमी

यहाँ, $a=5$ सेमी, $b=6$ सेमी तथा $c=9$ सेमी
$\therefore s=\frac{a+b+c}{2}$ तथा $s=\frac{5+6+9}{2}=\frac{20}{2}=10$
$\therefore$ त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\sqrt{10(10-5)(10-6)(10-9)}$
$=\sqrt{10 \times 5 \times 4 \times 1}=\sqrt{200}=10 \sqrt{2}\ $वर्ग सेमी
और परिमाप $=a+b+c=5+6+9=20$ सेमी

माना, त्रिभुज की भुजाएँ $3 x, 4 x$ तथा $5 x$ सेमी है।
$
\because \quad \begin{aligned}
&(5 x)^{2}=(3 x)^{2}+(4 x)^{2} \\
&25 x^{2}=9 x^{2}+16 x^{2} \\
&25 x^{2}=25 x^{2}
\end{aligned}
$
अतः दिया गया त्रिभुज समकोण त्रिभुज है तथा समकोण त्रिभुज की संगत मुजाएँ $3 x$ तथा $4 x$ है।
$\therefore$ समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times$ समकोण त्रिभुज की संगत
भुजाओं का गुणनफल $=\frac{1}{2} \times 3 x \times 4 x$
$\therefore \frac{12 x^{2}}{2}=216 $(दिया है)
$\Rightarrow x^{2}=216 \times \frac{2}{12}$
\begin{array}{lr}
\Rightarrow & x^{2}=36 \\
\Rightarrow & x=6
\end{array}
$\therefore$ त्रिभुज का परिमाप $=$ त्रिभुज की भुजाओं का योग
=3 x+4 x+5 x=12 x
=12 x 6=72 सेमी

हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज की मुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने C. से बना त्रिभुज बडे त्रिभुज का एक चौथाई होता है।


अतः $\triangle A B C$ का क्षेत्रफल, $\triangle D E F$ के क्षेत्रफल का चार गुना होगा। $\therefore \triangle D E F$ का क्षेत्रफल : $\triangle A B C$ का क्षेत्रफल $=1: 4$

चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों का मान $180^{\circ}$ होता है तथा $\angle B=90^{\circ}$ है दिया है, $\angle B C D=120^{\circ}$ जोकि बहिष्कोण है।
$\triangle A B C$ का $\angle C=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$
कोण $x=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+60^{\circ}\right)=30^{\circ}$

माना, दिए गए समकोण त्रिभुज में $\angle B$ समकोण है। तब, पाइथागोरस प्रमेय से,


$
a^{2}+(a+b)^{2}=(a+2 b)^{2}
$
\begin{gathered}
\Rightarrow a^{2}+a^{2}+b^{2}+2 a b=a^{2}+4 b^{2}+4 a b \\
\Rightarrow \quad 3 b^{2}+2 a b-a^{2}=0 \\
\Rightarrow 3 b^{2}+3 a b-a b-a^{2}=0 \\
\Rightarrow 3 b(b+a)-a(b+a)=0 \\
(b+a)(3 b-a)=0 \\
b+a=0 \Rightarrow b=-a \\
\therefore \quad b: a=1: 3 \Rightarrow a: b=3: 1
\end{gathered}

माना, एक समद्विबाहु त्रिभुज $A B C$ इस प्रकार हैं, कि
$
A B=A C
$
दिया है, $A B=A C=7 x$ तथा $B C=4 x$
प्रश्नानुसार,
$\triangle \mathrm{ABC}$ का परिमाप $=18$ सेमी
$\Rightarrow \quad A B+A C+B C=18$
$\Rightarrow \quad 7 x+7 x+4 x=18$
$
\Rightarrow \quad 18 x=18 \Rightarrow x=1 \text { }
$सेमी
$\therefore A B=A C=7$ सेमी तथा $\Rightarrow B C=4$ सेमी
$$
\text { तब, } \quad S=\frac{A B+A C+B C}{2}=\frac{7+7+4}{2}=9
$$
$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-A B)(s-A C)(s-B C)} $
$=\sqrt{9(9-7)(9-7)(9-4)} $
$=\sqrt{9 \times 2 \times 2 \times 5}=6 \sqrt{5} \text { } $सेमी $^2$

हम जानते हैं,
$a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $=\frac{\sqrt{3}}{2} a$
$\therefore$ अभीष्ट ऊँचाई $=\frac{\sqrt{3}}{2} \times 4=2 \sqrt{3}$ सेमी (जहाँ $a=4$ सेमी)

दिया है, $\triangle P Q R$ में, $\angle P=120^{\circ}$ तथा $P Q=P R$
हम जानते हैं कि, यदि त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हों, तो उनके सामने का कोण बराबर होता है।

अत: $\angle Q$ तथा $\angle R$ क्रमशः $30^{\circ}, 30^{\circ}$ के हैं।